2020年三月的波士顿，有一种奇异的安静。

悦儿站在公寓的窗户前面，看着外面的街道。查尔斯河对岸的剑桥市已经封了，MIT的教学楼关了，实验室关了，图书馆关了，连那个她常去的越南粉店也关了——老太太在门上贴了一张手写的告示，用马克笔歪歪扭扭地写着"暂时关闭，保重身体"，落款是一个笑脸。街上偶尔有一辆车驶过，车轮碾过干燥的柏油路面，发出一种空旷的回声，像隧道里的声音。

悦儿已经十七天没有出过门了。她的公寓里堆着从网上超市囤来的方便面、速冻饺子和几颗已经开始发蔫的卷心菜。她把卷心菜放在窗台上，阳光透过玻璃照在菜叶上，叶子边缘卷起来，像某种正在缩小的空间。

她的电脑屏幕上开着三个窗口。左边是Zoom，中间是arXiv，右边是一个空白的LaTeX文档，光标在屏幕左上角闪了三个小时还没有挪动过位置。

扎尔在Zoom那头咳嗽了一声。他的画面延迟了大概半秒，声音和口型错开了一点点，看上去像在演一部配音对不上的老电影。"你还在听吗？"

"在。"悦儿说。她其实刚才走神了，盯着窗台上那颗卷心菜在想别的事。"你说到哪儿了？"

"我说，我昨天把Katz-Tao的粘性框架重新推导了一遍。中间有一步我总觉得不对。"扎尔的屏幕共享了他那边的PDF，指针在某个公式下面划了一道红圈。"第八页，引理3.2。他们证明了粘性情形下的覆盖数上界。但那个上界用了一个直径增长的假设——管道在每一个尺度上都以某种'粘性'方式重叠。如果这个假设不成立呢？"

悦儿把视线从卷心菜上收回来，看着屏幕上那道红圈。她调出自己的PDF版本，翻到第八页。引理3.2，她在这页的页边写过三行批注，第一行是"对吗？"，第二行是"重推"，第三行什么都没有写，只有一条波浪线，表示她当时觉得这个引理有点站不住脚。

"这个引理，"悦儿说，"我也怀疑过。2018年我花了一个月推它，推了三遍。结论是它是对的——但前提是'粘性'定义中的那个δ尺度分离条件必须成立。Katz和Tao写的那个分离条件是——"

"太强了。"扎尔说。

"太强了。"悦儿重复了一遍。"他们假设不同尺度的管道在交叉时存在一个绝对的'分离度'——就好像不同层级的树枝永远不会在同一高度碰到彼此。这在现实中不可能成立。"

扎尔沉默了几秒。Zoom画面里他往后靠了靠，露出身后房间里的一面白墙——他也在居家办公，背景里没有任何装饰，像一间已经搬空的房间。"那如果我们把这个条件松一松呢？"

"松到什么程度？"

"松到——管道可以在某个尺度上'混乱'地交叉，但在更大的尺度上，那种混乱被平均掉了。"

悦儿盯着屏幕。她拿起手边的一支笔，在空白纸上画了一组线条。无数根细管，密密麻麻，在不同的尺度上交叉、分离、重新交叉。如果画得够密，那些线条看起来像一团灰色的雾。但如果你从更远的地方看那团雾——她退后两步，把纸举远了一点——那团雾的轮廓其实是清晰的，边缘规整，像一个有边界的物体。

"你说的这个，"她把纸放下来，"听起来像多尺度归纳里的'平均化'步骤。Tao在1999年用过类似的东西。"

"类似。但不一样。"扎尔把屏幕共享切到另一份文档，是一份他自己写的草稿，标题是"Sticky Kakeya: A Revised Framework"。悦儿看到那个标题，心里动了一下。扎尔在做她也在做的事——把Katz-Tao的框架拆开，重新组装，看看有没有哪根骨头是多余的，哪根骨头是不够的。

"你写这个用了多久？"悦儿问。

"疫情开始之后。"扎尔说，"每天都在写。反正哪里也去不了。"

悦儿没有说话。她看着屏幕上那份草稿的第一页，密密麻麻的公式从顶端一直排到底部，排版很干净，引理和定理的编号从1到37。这个人在这十七天里写了三十七个引理。悦儿低头看了看自己那张画了几根线条的白纸，忽然觉得卷心菜也没那么重要了。

"我们合作吧。"悦儿说。

Zoom那头沉默了一瞬。扎尔的画面卡了一下，声音和口型再次错开，然后他说："你说什么？"

"我说，我们合作。"悦儿把白纸翻了个面，用笔在上面写了"Sticky Kakeya"两个词，然后在下面画了一条横线。"你不也在做这个吗？我也在做。但我们两个都在重复对方的推导。你推一遍，我也推一遍，推完发现结论一样。那就白推了。"

"所以——"

"所以我们各推一半。你推引理部分，我推归约部分。每周碰两次头，交换结果。谁的推导出了问题，另一个人来查。谁的证明断了，另一个人来接。这样不浪费。"

扎尔那边沉默了很久。悦儿看着Zoom屏幕上的画面，扎尔的脸在延迟中微微抖动，表情介于惊讶和某种更复杂的情绪之间。最后他说话的时候声音比刚才低了一点："你知道这意味着什么吗？"

"意味着什么？"

"意味着我们绑在一起了。如果一个人做不下去，另一个人也得停下来。没法各做各的。"

悦儿想了想，说："我知道。"

"你不怕？"

"怕什么？"

"怕一个合作者把你拖下水。怕走了一半发现路径不对。怕三年之后什么都做不出来。"

悦儿看着窗外。街道上有一辆自行车经过，骑车的戴着一个白色的N95口罩，身形佝偻着，像在风里逆行了很远。

"我今年二十九了。"悦儿说，"从2014年开始认真做挂谷猜想，做了六年。六年里没有一天不想这个问题。洗澡的时候想，吃饭的时候想，走在路上也在想。但六年的时间，我只是在看别人写的证明、重复别人走过的路。我一个人从来没有往前推过哪怕一步。"

她停下来，把笔放下。

"如果三年之后什么都做不出来，那至少那三年是我自己在推。不是在看别人的后脑勺。"

扎尔在屏幕那头说了一句什么，但网络延迟让这句话碎成了两截。悦儿只听到后半截："……那就推。"

三月底，他们正式开工。

悦儿负责的部分是"归约"——把一般情形下的挂谷集合"压"到粘性的框架里去。她每天早上六点起床，煮一壶咖啡，坐到电脑前面，一直到下午四点才离开那张椅子。中间她会站起来在房间里走三圈，从窗户走到厨房再走回窗户，大概需要四十七步。她数过。

扎尔每周一和周四的晚上八点（他那边是温哥华的下午五点）跟她通一次Zoom。每次通话持续两到三个小时，他们在屏幕共享上对着一份LaTeX文档逐行地改，有时候一句话要改七八遍，改了又删，删了再写。

粘性挂谷猜想。悦儿在写第一版草稿的时候，把这个短语拆开来写了三遍，然后给它加了一个脚注："粘性（sticky）——管道在不同尺度上的重叠呈现树状结构，每一层尺度的管道都依附于上一层的骨架，像树枝从树干上长出来。任何脱离了树干的、'自由'的管道都不存在。这就是粘性。"